Калькулятор первообразных

Чтобы использовать Калькулятор первообразных, выберите тип (определенный или неопределенный), введите функцию, заполните необходимые поля ввода и нажмите кнопку расчета.

ADVERTISEMENT

inf = ∞ , pi = π and -inf = -∞
This will be calculated

2 3

ADVERTISEMENT

ADVERTISEMENT

Mobile Apps

Download our Android app from Google Play Store and iOS app from Apple App Store.


 Калькулятор первообразных  с шагами

Калькулятор первообразной находит первообразную функции шаг за шагом по переменной, т. е. x, y или z. Этот онлайн-калькулятор интеграции также поддерживает верхнюю и нижнюю границы, если вы работаете с минимальным или максимальным значением интервалов.

С помощью этого интегрального калькулятора вы можете получить пошаговые расчеты:

  • Определенный интеграл
  • Неопределенный интеграл

Он может найти интегралы логарифмических, а также тригонометрических функций. Этот инструмент оценивает входную функцию и соответственно использует интегральные правила для вычисления интегралов для площади, объема и т. д.

Как работает антипроизводный калькулятор?

Этот инструмент использует синтаксический анализатор, который анализирует заданную функцию и преобразует ее в дерево. Компьютер интерпретирует дерево для правильной оценки порядка операций и соответствующим образом реализует правила интеграции.

Вы можете найти первообразную (интеграл) любой функции, выполнив следующие действия.

  • Выберите определенный или неопределенный вариант.
  • Введите функцию в данное поле ввода.
  • Нажмите кнопку «Загрузить пример», если вы хотите использовать образец примера.
  • Укажите переменную. По умолчанию он установлен как x.
  • Введите верхнюю и нижнюю границы, если вы выбрали определенный интеграл выше.
  • Нажмите кнопку "Рассчитать". Вы получите результат с пошаговыми расчетами.

Вы можете скачать решение, нажав на иконку.

Что такое интеграл?

Интеграл можно определить как

«Integral присваивает числа функциям таким образом, который описывает объем, площадь, перемещение и другие идеи, возникающие при объединении бесконечно малых данных».

Процесс нахождения интегралов называется интегрированием. Интеграл также называют первообразной, потому что это обратная операция вывода.

Наряду с дифференцированием интегрирование является важной операцией исчисления и служит инструментом для решения задач в математике и физике, связанных с длиной кривой, объемом твердого тела и площадью произвольной формы среди других.

Интеграл функции f(x) по действительной переменной x на интервале [a, b] записывается как:

\(\int _a^bf\left(x\right)dx\:\)

Как найти первообразную (интеграл)?

См. приведенные ниже примеры, чтобы узнать, как вычислять определенные и неопределенные интегралы, используя правила интегрирования.

Пример №1

Определенный интеграл

Оценивать \(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:\)

Решение:

  1. Примените правило сумм. Запишите знак интегрирования с каждой переменной отдельно.

\(\int _0^1\sqrt{x}dx+\int _0^1x^{\frac{1}{3}}dx\:\)

Вышеупомянутая функция может быть записана как:

\(=\int _0^1x^{\frac{1}{2}}dx+\int _0^1x^{\frac{1}{3}}dx\:\)

  1. Примените степенное правило к обоим выражениям, чтобы вычислить показатели степени.

Правило питания: \(\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\:\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]^1_0+\left[\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}\right]^1_0\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]^1_0+\left[\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}\right]^1_0\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\left[\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\right]^1_0+\left[\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}\right]^1_0\)

  1. Примените постоянное правило, которое оставляет C с окончательным выражением.

Постоянное правило: 

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]^1_0+\frac{3}{4}\left[x^{\frac{4}{3}}\right]^1_0\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\frac{2}{3}\left[1^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right]+\frac{3}{4}\left[1^{\frac{4}{3}}-0^{\frac{4}{3}}\right]\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\frac{2}{3}\left[1-0\right]+\frac{3}{4}\left[1-0\right]\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\)

\(\int _0^1\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)dx\:=\frac{17}{12}=1.4167\)

Пример №2

Неопределенный интеграл

Оценивать \(\int \left(3x^2−6x+2sin\left(x\right)\right)dx\)

Решение:

  1. Переставьте функцию, как показано ниже.

\(\int \left(2sin\left(x\right)+3x^2−6x\right)dx\)

  1. Примените правило сумм к функции.

Правило суммы: 

\(\int \left(f+g\right)dx=\int f\:dx+\int g\:dx\)

\(\int \left(2sin\left(x\right)+3x^2−6x\right)dx=2\int sin\left(x\right)dx+3\int x^2dx−6\int xdx\) ...Уравнение 1

  1. Решите каждое выражение в приведенной выше функции, реализуя интегральные правила.

\(\int sin\left(x\right)dx=-cos\left(x\right)\) ... d/dx sin(x)=cos(x)

\(\int x^2dx=\frac{x^3}{3}\:\)

\(\int xdx=\frac{x^2}{2}\:\)

 

  1. Подставьте значения решения в уравнение 1.

\(\int \:\left(2sin\left(x\right)+3x^2−6x\right)dx=-2cos\left(x\right)+\frac{3x^3}{3}−\frac{6x^2}{2}+C\)

C добавлен из-за постоянного правила.

  1. Упростите уравнение, если это необходимо.

\(\int \:\left(2sin\left(x\right)+3x^2−6x\right)dx=-2cos\left(x\right)+x^3−3x^2+C\)

Часто задаваемые вопросы

Чему равен интеграл от 1/x?

Интеграл от 1/x представляет собой абсолютное значение: ln (|x|) + C. Это стандартное значение интегрирования.

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?

Определенный интеграл обозначает число, когда верхняя и нижняя границы являются постоянными. С другой стороны, неопределенный интеграл – это семейство функций, производная которых равна f. Разница между двумя функциями является константой.

Что такое первообразная tan(x) dx?

Первообразная tan(x) dx равна,

тангенс x = - ln |cos x| + С

ADVERTISEMENT

X